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자기계발/수학공부

방정식과 부등식 - 7 1. 부등식의 성질 1.1 부등식의 기본 성질 (1) a > b이고 b c이다. (2) a > b이고 a ± c > b ± c이다. (3) a > b이고 c > 0이면 ac > bc이다. (4) a > b이고 c b의 해 (1) 부등식의 양변을 상수 .. 더보기
방정식과 부등식 - 6 1. 연립이차방정식의 풀이 1.1 미지수가 2개인 연립이차방정식의 풀이 (1) 연립방정식이 (일차식) = 0, (이차식) = 0의 꼴인 경우, 일차방정식을 어느 한 문자에 대하여 정리한 다음 대입. (2) (이차식) = 0, (이차식) = 0의 꼴인 경우 i. 한 이차방정식이 인수분해 가능하면 인수분해하여 두 일차방정식을 유도한다. ii. 각각의 일차방정식과 남은 다른 이차방정식을 연립하여 푼다. i. 두 이차방정식을 더하거나 빼어 이차항을 소거해 일차방정식을 유도한다. ii. 만들어진 일차방정식과 두 이차방정식 중 하나를 연랍하여 푼다. i. 두 이차방정식을 더하거나 빼어 상수항을 소거해 인수분해 가능한 이차방정식을 유도한다. (3) 연립방정식이 x + y = A, xy = B의 꼴로 변형되는 경우 -.. 더보기
방정식과 부등식 - 5 1. 고차방정식 고차방정식(equations of higher degree)이란, 삼차 이상의 방정식을 말한다. 1.1 고차방정식의 풀이 (1) 인수분해를 이용한 풀이 - 고차방정식 f(x) = 0은, f(x)를 인수분해한 후 등식의 성질을 이용하여 차수가 낮은 몇 개의 방정식으로 바꾸어 푼다. 고차방정식을 푸는 것이 쉽지 않기 때문에 따로 구분을 한다. 일차방정식의 근은 등식의 성질로 바로 구할 수 있었고, 이차방정식의 근은 근의 공식을 이용하면 어떠한 방정식도 바로 풀 수 있었다. 즉, 일반적인 해법이 존재했고 그리 어렵지 않았다. 하지만 고차방정식의 일반적인 해법은 사용하기 매우 까다로우며, 오차 이상의 방정식의 일반적인 해법은 존재하지 않음이 알려져 있다. 고차방정식에서 다항식을 인수분해할 때, .. 더보기
방정식과 부등식 - 4 1. 이차함수의 그래프 이차함수 y = ax² + bx + c를 완전제곱식을 포함한 식으로 변형하면 다음과 같고, 그 그래프는 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 -b/2a만큼, y축의 방향으로 -(b²-4ac)/4a 축 : 직선 x = -b/2a 2. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 해 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 개수는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 실근의 개수와 같다. 이를 일반화하면, 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 y = mx + n의 교점의 개수는 이차방정식 ax² + bx + c = mx + n의 실근의 개수와 같다. 3. 이차방정식 근의 관한 문제 => 이차함수의 특수한 결과(즉, y = 0)가 나오는 시점이 언제인지 찾는 문제 => 이차방정식에서는 .. 더보기
방정식과 부등식 - 3 1. 이차식의 인수분해 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근이 p, q이면 이차식 ax² + bx + c는 ax² + bx + c = a(x-p)(x-q)와 같이 인수분해된다. 2. 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 q, p라 할 때, (1) 두 근의 합 : q + p = -b/a (2) 두 근의 곱 : qp = c/a (3) 두 근의 차 : |a - b| = 루트(b² - 4ac)/|a| 3. 이차방정식의 작성 두 수 q, p에 대해 q + p = A, qp = B이면 이차항의 계수가 1인 x에 대한 이차방정식 x² - Ax + B = 0이다. 4. 이차방정식의 켤레근의 정리 (1) 모든 계수가 유리수인 이차방정식에서 한 근이 a + b루트(.. 더보기
방정식과 부등식 - 2 1. 방정식 ax = b의 해 (1) a != 0 일 때, ax = b는 일차방정식 => 해는 x = b/a로 1개이다. (2) a = 0일 때, b != 0 이면 0 * x = b 이므로 해가 없다.(불능) b = 0 이면 0 * x = 0 이므로 해가 무수히 많다.(부정) - 등식은 단순히 어떤 주장을 기호로 표현한 것일 뿐이다. 2. 방정식 참이 되도록 하는 문자의 값을 구하고자 하는 목적 미지수(unknown) or 변수(variable) : 방정식에서 특정 값을 찾아야 하는 문자 문자 상수(character constant) : 방정식에서 값을 찾는 것이 목적이 아닌 문자 다항방정식(polynomial equation) : 양변이 다항식으로 된 등식 원(元) : 미지수의 개수 차(次) : 다항식.. 더보기
방정식과 부등식 - 1 1. 복소수 복소수는 여러가지 방정식을 풀기 위해 등장 하였다. (1) 복소수 - 허수 단위 : i² = -1을 만족하는 수 i - 복소수 : 임의의 실수 a, b에 대하여 a + bi 꼴로 나타내어지는 수 (2) 복소수가 서로 같을 조건 a, b, c, d가 실수일 때, - a + bi = 0 a = 0이고 b = 0 - a + bi = c + bi a = c이고 b = d (3) 켤레복소수 복소수 a + bi에서 허수 부분 b의 부호를 바꾼 복소수, 즉 1.1 복소수의 정의 임의의 두 실수 a, b에 대하여 a + bi 꼴로 나타내어지는 수를 복소수(complex number)라 하고, a를 이 복소수의 실수부분, b를 이 복소수의 허수부분이라고 한다. ※ 순허수 : bi ( a= 0, b != 0).. 더보기
다항식 - 4 1. 교대식의 인수분해 (1) 교대식의 성질 다항식에 포함된 임의의 두 문자를 서로 바꿔 쓸 때, 식의 형태는 같지만, 그 식 전체의 부호는 반대가 되는 식. ※ f(x, y, z) = -f(y, x, z) = -f(x, z, y) = -f(z, y, x) - f(x , y, z)는 x-y, y-z, x-z를 인수로 갖는다. (2) 대칭식의 성질 다항식에 포함된 임의의 두 문자를 서로 바꿔 쓰더라도 의미가 변하지 않는 식. 특히, 차수가 모두 같은 항으로 이루어진 대칭식을 동차대칭식이라고 한다. ※ f(x, y, z) = f(y, x, z) = f(x, z, y) = f(z, y, x) - 1차 동차대칭식 : k(x + y + z) - 2차 동차대칭식 : k(x² + y² + z²) + l(xy + yz.. 더보기
다항식 - 3 인수분해 1. 인수분해의 기본 공식 다항식이 둘 이상의 수, 단항식, 다항식의 곱으로 표현될 때, 이러한 수, 단항식, 다항식을 그 다항식의 인수(factor)라 한다. 이와 같이 하나의 다항식을 몇 개의 인수의 곱으로 표현하는 것을 그 다항식의 인수분해(factorization)라 한다. - 전개와 인수분해는 서로 역과정 (1) 수행과정 - 공통인수가 있다면 공통인수로 먼저 묶는다. - 전체 또는 부분으로 묶어서 인수분해의 공식을 이용한다. 2. 치환을 이용한 인수분해 (1) 반복되는 부분을 한 문자로 치환해서 푼다. (2) 짝수 차수의 항만 이루어진 다항식, 즉 복이차식이면 x² = X로 치환한다. 이때 치환을 해도 인수분해가 안되면, A² - B² 꼴로 변형가능한지 살펴본다. 3. 내림차순으로 정리.. 더보기
다항식 - 2 1. 항등식 (1) 항등식 : 주목하는 문자에 어떠한 값을 대입하더라도 항상 성립하는 등식 - 좌변과 우변의 식의 형태가 똑같은 식 - 수학적으로 좌변과 우변의 식이 명백히 같은 값을 나타내는 식(곱셈 공식) - 방정식(equation) : 참이 되게 하는 값을 구하는 것이 목적인 등식 2. 미정계수법 항등식의 성질을 이용하여 항등식에서 미지수인 계수의 값을 결정하는 방법 - 항등식이 되도록 계수를 결정하는 것 (1) 계수비교법 : 좌변과 우변의 각 동류항의 계수가 같음을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법 => 좌변과 우변을 같은 모양으로 정리하여 각 동류항의 계수를 비교한다. (2) 수치대입법 : 어떠한 값을 대입해도 식이 성립한다는 항등식의 정의를 이용하여 미정계수를 결정하는 방법 => 주목하는 문자.. 더보기

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