방정식과 부등식 - 5

1. 고차방정식

고차방정식(equations of higher degree)이란, 삼차 이상의 방정식을 말한다.

1.1 고차방정식의 풀이

(1) 인수분해를 이용한 풀이 - 고차방정식 f(x) = 0은, f(x)를 인수분해한 후 등식의 성질을 이용하여 차수가

낮은 몇 개의 방정식으로 바꾸어 푼다.

고차방정식을 푸는 것이 쉽지 않기 때문에 따로 구분을 한다.

일차방정식의 근은 등식의 성질로 바로 구할 수 있었고, 이차방정식의 근은 근의 공식을 이용하면

어떠한 방정식도 바로 풀 수 있었다. 즉, 일반적인 해법이 존재했고 그리 어렵지 않았다.

하지만 고차방정식의 일반적인 해법은 사용하기 매우 까다로우며, 오차 이상의 방정식의 일반적인 해법은

존재하지 않음이 알려져 있다.

고차방정식에서 다항식을 인수분해할 때, 바로 인수분해되지 않으면 인수정리와 조립제법을 써서

인수분해해야 한다.

- 삼차방정식에서는 한 개의 일차식 인수만 인수정리로 찾으면 된다.

- 사차방정식에서는 두 개의 일차식 인수만 인수정리로 찾으면 된다.

(2) 변형과 치환을 이용한 풀이 - 식을 적당히 변형, 치환한 후 인수분해를 이용해 푼다.

- 복이차방정식 : 짝수 차수 항만 있는 사차방정식으로, X = x²으로 두고 인수분해 하여 풀거나,

최고차항과 상수항을 기준으로 완전제곱식으로 변현항 후, 인수분해하여 푼다.

- 중복 치환 방정식 : 공통된 부분식이 있는 방정식으로, 그 부분식을 치환하여 푼다.

- 항이 홀수 개인 상반방정식 : 계수가 가운데 항을 중심으로 좌우대칭 꼴인 짝수 차수 방정식으로,

가운데 항의 문자로 묶은 뒤 계수가 같은 항끼리 묶어 푼다.

- 항이 짝수 개인 상반반정식 : 계수가 가운데 중심으로 좌우대칭 꼴인 홀수 차수 방정식으로,

좌변의 식이 'x+1'을 인수로 가짐을 이용해 '항이 홀수 개인 상반방정식'의 꼴로 만들어 푼다.

- 계수 반복 방정식 : 계수가 반복되는 방정식으로, 반복되는 항의 수를 n이라 하면 좌변의 식은

 'xⁿ+1'을 인수로 가진다. 비슷하게 부호가 반대로 반복되는 방정식은 xⁿ-1을 인수로 가진다.

1.2 삼차방정식 x³ + 1의 허근 ω의 성질

n차 방정식 xⁿ = 1(n은 자연수)의 근, 즉 1의 n 제곱급은 교육과정에서 연습문제 정도로 밖에 다루지 않지만,

사실 n 번째 단위근(nth roots of unity) 도는 드 무아브르의 수(deMoivre numbers) 등의 이름으로 불릴 정도로

중요한데, 그 이유 중 하나는 자기 자신을 계속 곱하면 주기성을 갖기 때문이다.

이를테면 방정식 x⁴= 1의 근은

x⁴-1 = (x²-1)(x²+1) = (x+1)(x-1)(x-i)(x+i) = 0 에서

1, -1, i, -i임을 알 수 있는데, 각 근은 주기성을 보인다.

방정식 ω³=1 <=> x² + x + 1 = 0의 한 허근 ω라 할 때,

(1) ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0, ω + 1/ω = -1

(2) ω + 켤레복소수(ω) = -1, ω켤레복소수(ω) = 1

(3) 켤레복소수(ω) = ω² => 방정식 x³ = 1의 세 근은 1, ω, ω²이다.

2. 다항방정식의 성징

2.1 삼차 방정식의 근과 계수의 관계

ax³ + bx² + cx + d = 0의 식의 세 근을 q, w, e로 놓자.

(1) q + w + e = -b/a

(2) qw + we + eq = c/a

(3) qwe = -d/a
이러한 규칙은 방정식이 포함한 다항식의 인수를 전개하면서 자연스레 발생한 규칙이다.

2.2 삼차방정식의 작성

세 근 q,w,e에 대해 q+w+e = A, qw + we + eq = B, qwe = C이면

삼차항의 계수가 1인 x에 대한 삼차방정식

x³ + Ax² + Bx - C = 0

2.3 다항식의 켤레근 정리

계수 조건(유리수, 실수)이 주어진 삼차 이상의 다항방정식에 대해서도, 방정식이 무리수 또는 복소수 근을

가지면, 그 켤레수도 방정식의 근이 된다.

3. 연립일차방정식의 풀이

연립방정식(simultaneous equations)이란 여러 개의 방정식의 묶음으로, 묶음에 포함되어 있는 모든 방정식을

동시에 만족시키는 모든 해를 구하는 것이 그 목적이다.

3.1 연립일차방정식의 풀이

가감법, 대입법, 등치법 등으로 미지수의 개수를 줄요 나가는 동치변형을 하여 푼다.

- 대입법, 등치법보다는 가감법을 쓰는 것이 좋다.

이는 문자가 많아지고 식이 많아지면, 어떤 식을 어디에 대입하였는지 헷갈리게 된다.

3.2 엽립일차방정식의 부정과 불능

x,y에 대한 연립일차방정식 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0에 대하여

(1) a/a' = b/b' = c/c'이면, 해가 무수히 많다.(부정)

(2) a/a' = b/b' != c/c'이면, 해가 없다.(불능)