1. 항등식
(1) 항등식 : 주목하는 문자에 어떠한 값을 대입하더라도 항상 성립하는 등식
- 좌변과 우변의 식의 형태가 똑같은 식
- 수학적으로 좌변과 우변의 식이 명백히 같은 값을 나타내는 식(곱셈 공식)
- 방정식(equation) : 참이 되게 하는 값을 구하는 것이 목적인 등식
2. 미정계수법
항등식의 성질을 이용하여 항등식에서 미지수인 계수의 값을 결정하는 방법
- 항등식이 되도록 계수를 결정하는 것
(1) 계수비교법 : 좌변과 우변의 각 동류항의 계수가 같음을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법
=> 좌변과 우변을 같은 모양으로 정리하여 각 동류항의 계수를 비교한다.
(2) 수치대입법 : 어떠한 값을 대입해도 식이 성립한다는 항등식의 정의를 이용하여 미정계수를 결정하는 방법
=> 주목하는 문자에 임의로 몇몇 값을 각각 대입하여 얻은 식을 연립한다.
=> 수치대입법을 이용할 때 '대입하는 수'의 개수는 '계수에 포함된 문자'의 개수와 같다.
3. 미정계수의 합
다항식을 전개하여 얻은 등식은 항등식이다. 전개식에서 특장 항의 계수 뿐만 아니라 계수의 합 또는 차를 구하는 문제가 자주 출제되는데 이때 항등식의 성질을 이용하면 아주 간단히 해결되는 경우가 많다.
- 모든 항의 계수의 합은 주어딘 다항식의 x에 1을 대입하면 구할 수 있다.
- 특정한 문자 x를 포함하지 않는 항들의 계수의 합은 x에 0, 나머지 문자에 1을 대입하면 구할 수 있다.
GUIDE
- 다항식의 나눗셈에서 관계식을 세울 때, 몫의 최고차항의 계수는 나우어지는 식과 나누는 식의 최고차항의 계수비교를 통해서 매우 쉽게 구할 수 있으므로, 이를 먼저 구하여 미정계수의 개수를 줄이도록 한다.
- 주목하는 문자를 잘 파악하는 것이 우선이다. k의 값에 관계없이 성립하므로 주목하는 문자는 k이다. 따라서 등식을 k에 대한 꼴로 정리한 다음 계수를 비교한다.
4. 나머지정리
(1) 다항식 f(x)를 일차식 x - a로 나눌 때의 나머지를 R이라 하면 R = f(a) 이다.
(2) 다항식 f(x)를 일차식 ax - b로 나눌 때의 나머지를 R이라 하면 R = f(b/a) 이다.
=> 다항삭 f(x)가 x - 3으로 나누어떨어진다고 하자. 그러면
f(x) = (x - 3)Q(x)
5. 인수정리
나머지 정리에서 나머지가 0인 경우
6. 조립제법
불필요한 식 없이 다항식을 x - a 꼴의 일차식으로 빠르게 나누는 방법
- 다항식 f(x)에 대하여 f(13)의 값을 구할 때, x = 13을 f(x)에 직접 대입하여 계산하기는 어렵지만
x - 3 = 13 - 10 = 10을 (x - 3)에 대한 내림차순으로 나타낸 식에 대입하여 계산하면 상대적으로 간단하다.