원의 성질
1. 현의 수직이등분선
(1) 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.
(2) 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.
2. 현의 길이
한 원 또는 합동인 두 원에서
(1) 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서로 같다.
(2) 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다.
3. 원의 접선의 길이
(1) 접선의 길이 : 원 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 접점을 각각 A, B라 할 때,
선분PA, 선분PB의 길이가 점 P에서 원 O에 그은 접선의 길이이다.
(2) 원 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
PLUS.
- 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 서로 수직이다.
- 원 위의 한 점을 지나고 그 점을 지나는 원의 반지름에 수직인 직선은 그 원의 접선이다.
4. 삼각형의 내접원
원 O가 △ABC에 내접하고 내접원의 반지름의 길이가 r일 때
(1) 선분AD = 선분AF, 선분BD = 선분BE, 선분CE = 선분CF
(2) △ABC의 둘레의 길이 : 2( x + y + z )
(3) △ABC의 넓이 : △ABC = 1/2( a + b + c )r
PLUS.
원 O가 직각삼각형 ABC에 내접하고 원 O의 잔비름의 길이가 r일 때,
- △ABC = 1/2r(a + b + c) = 1/2ab임을 이용하여 r을 구할 수 있다.
5. 원에 외접하는 사각형의 성질
(1) 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 서로 같다.
(2) 두 쌍의 대병늬 길이의 합이 서로 같은 사각형은 원에 외접한다.
6. 원주각과 중심각
(1) 원주각 : 원 O에서 호AB 위에 있지 않는 점 P에 대하여 ∠APB를 호AB에 대한 원주각이라 한다.
(2) 원주각과 중심각의 크기 : 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 1/2이다.
7. 원주각의 성질
(1) 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
(2) 반원에 대한 원주각의 크기는 90° 이다.
8. 원주각의 크기와 호의 길이
한 원 또는 합동인 두 원에서
(1) 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다.
(2) 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같다.
(3) 원주각의 크기와 호의 길이는 정비례한다.
PLUS.
한 원 또는 합동인 두 원에서 다음은 정비례한다.
중심각의 크기, 원주각의 크기, 부채꼴의 호의 길이, 부채꼴의 넓이
9. 네 점이 한 원 위에 있을 조건-원주각
두 점 C, D가 직선 AB에 대하여 같은 쪽에 있을 때
∠ACB = ∠ADB 이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
10. 원에 내접하는 사각형의 성질
(1) 원에 내접하는 사각형에 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°이다.
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
(2) 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
11. 사각형이 원에 내접하기 위한 조건
(1) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 사각형은 원에 내접한다.
(2) 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원에 내접한다.
12. 접선과 현이 이루는 각
(1) 접선과 현이 이루는 각 : 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의
내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
=> AT가 원 O의 접선이면 ∠BAT = ∠BCA
(2) 접선이 되기 위한 조건 : 원 O에서 ∠BAT = ∠BCA이면 AT는 원 O의 접선이다.
13. 원에서의 비례 관계
한 원의 두 현 AB, CD 또는 그 연장선이 만나는 점을 P라 하면
PA * PB = PC * PD
14. 네 점이 한 원 위에 있을 조건-원과 비례
두 선분 AB, CD 또는 그 연장선이 점 P에서 만나고
PA*PB = PC*PD 가 성립하면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
15. 원의 할선과 접선의 비례 관계
(1) 할선과 접선의 관계 : 원의 외부의 한 점 P에서 그 원에 그은 접선과 할선이 만나는 점을
각각 T, A, B라 하면 PT² = PA * PB
(2) 접선이 되기 위한 조건 : 한 직선 위에 세 점 P, A, B와 이 직선 밖의 한 점 T에 대하여
PT² = PA * PB이면 PT는 세 점 A, B, T를 지나는 원의 접선이다.