피타고라스 정리의 활용
1. 평면도형에서 대각선의 길이
(1) 직사각형의 대각선의 길이 : 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형 ABCD에서 대각선의 길이를 l이라 하면
l² = a² + b²
(2) 정사각형의 대각선의 길이 : 한 변의 길이가 a인 정사각형 ABCD에서 대각선의 길이를 l이라 하면
l² = a² + a² = l² = 2a²
2. 삼각형의 높이와 넓이
(1) 정삼각형의 높이와 넓이
한 변의 길이가 a인 정삼각형 ABC에서 높이를 h, 넓이를 S라 하면
h = √3/2a
S = √3/4a²
(2) 삼각형의 높이와 넓이
한 꼭짓점에서 대변의 수선을 그어 직삼각형을 만든 후 피타고라스 정리를 이용한다.
PLUS. 삼각형의 높이를 구할 때에는 한 꼭짓점에서 대변에 수선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리를 이용한다.
3. 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
(1) 세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
= 1 : 1 : √2
(2) 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
= 1 : √3 : 2
PLUS. - 주어진 도형에 보조선을 그어서 특수한 직각삼각형을 만든다.
- 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비가 일정하므로 한 변의 길이를 이용하여 나머지 두 변의 길이를 구한다.
4. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
(1) 원점과 한 점 사이의 거리 : 원점 O와 한 점 P(x1, y1) 사이의 거리는
OP² = x1² + y1²
(2) 두 점 사이의 거리 : 두 점 P(x1, y1), Q(x2, y2) 사이의 거리는
PQ² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²
PLUS. 좌표평면 위의 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 종류
(1) 선분AB = a, 선분BC = b, 선분CA = b일 때,
- a = b = c이면 정삼각형
- a = b or b = c or c = a이면 이등변 삼각형
(2) a가 가장 긴 변일 때
- a² < b² + c²이면 예각삼각형
- a² = b² + c²이면 직각삼각형
- a² > b² + c²이면 둔각삼각형
5. 입체도형에서 대각선의 길이
(1) 직육면체의 대각선의 길이
가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선의 길이를 l이라 하면
l² = a² + b² + c²
(2) 정육면체의 대각선의 길이
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이를 l이라 하면
l² = a² + a² + a² = 3a²
6. 정사면체의 높이와 부피
한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 높이를 h, 부피를 V라 하면
h = √6/3a
V = √2/12a³
7. 정사각뿔의 높이와 부피
한 변의 길이가 a인 정사각형을 밑면으로 하고, 옆면의 모서리의 길이가 b인 정사각뿔의 높이를 h,
부피를 V라 하면
h² = b² - (1/2 x √2a)²
V = 1/3a²h
8. 원뿔의 높이와 부피
밑면의 반지름의 길이가 r, 모선의 길이가 l인 원뿔의 높이를 h, 부피를 V라 하면
(1) h² = l² - r²
(2) V = 1/3ㅠr²h
9. 입체도형에서의 최단 거리
입체도형의 겉면 위의 한 점에서 겉면을 따라 다른 한 점에 이르는 최단 거리는
전개도에서 두 점을 잇는 선분의 길이와 같다.