도형의 닮음
1. 닮음의 뜻
(1) 닮음 : 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소하여 다른 도형과 합동이 될 때, 이 두 도형은 서로 닮았다
또는 닮음인 관계에 있다고 한다.
(2) 닮은 도형 : 서로 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라 한다.
△ABC∽△DEF
2. 도형에서의 닮음의 성질
(1) 평면도형에서의 닮음의 성질 : 두 닮은 평면도형에서
- 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.
- 대응하는 각의 크기는 서로 같다.
- 닮은 두 평면도형에서 닮음비는 대응하는 변의 길이의 비이다.
(2) 입체도형에서 닮음의 성질 : 두 닮은 입체도형에서
- 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.
- 대응하는 면은 닮은 도형이다.
- 닮은 두 입체도형에서 닮음비는 대응하는 모서리의 길이의 비이다.
3. 삼각형의 닮음 조건
두 삼각형은 다음 각 경우 서로 닮은 도형이다.
(1) SSS 닮음 : 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같다.
(2) SAS 닮음 : 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다.
(3) AA 닮음 : 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같다.
4. 직각삼각형에서의 닮음
∠A = 90° 인 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 빗면 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABC∽△HBA∽△HAC(AA 닮음)
(1) 선분AB² = 선분BH X 선분BC
(2) 선분AC² = 선분CH X 선분CB
(3) 선분AH² = 선분HB X 선분 HC
5. 삼각형의 내각의 이등분선
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 선분BC와 만나는 점을 D라 하면
선분AB : 선분AC = 선분BD : 선분CD
6. 삼각형의 외각의 이등분선
△ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선이 선분BC의 연장선과 만나는 점을 D라고 하면
선분AB : 선분AC = 선분BD : 선분CD
7. 평행선 사이의 선분의 길이의 비
세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선에 의해 두 직선은 일정한 비로 나눠진다. 즉, 잘린 선분의 길이의 비가 일정하다.
PLUS. 평행선 사이의 선분의 길이의 비
- 하나의 직선을 평행이동한 후, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비로 해결한다.
- 이 정리는 평행선이 네 개 이상일 때도 성립한다.
8. 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질(1)
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 1/2이다. 즉, △ABC에서 선분AM = 선분MB, 선분AN = 선분NC이면 선분MN // 선분BC, 선분MN=1/2선분BC
9. 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질(2)
삼각형의 한 변의 중점을 지나 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다. 즉, △ABC에서
선분AM = 선분BM, 선분MN // 선분BC이면 선분AN = 선분NC, 선분MN=1/2선분BC
10. 사다리꼴의 중점을 연결한 선분의 성질
선분AD // 선분BC인 사라디꼴 ABCD에서 선분AM = 선분MB, 선분DN = 선분NC일 때,
(1) AD // MN // BC
(2) MN = MQ + QN = 1/2(BC + AD)
(3) PQ = MQ - MP = 1/2(BC - AD)
11. 삼각형의 중선과 무게중심
(1) 삼각형의 중선 : 삼각형에서 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분
(2) 삼각형의 무게중심 : 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 교점을 무게중심이라 한다.
(3) 무게중심의 성질 : 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2:1로 나눈다.
12. 삼각형의 무게중심과 넓이
(1) 삼각형의 중선과 넓이 : 삼각형의 중선은 그 삼각형의 넓이를 이등분한다.
(2) 삼각형의 무게중심과 넓이 : 점 G과 △의 무게중심일 때 세 중선에 의하여 나누어지는 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.
13. 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비
(1) 닮은 두 평면도형에서의 비
닮은 두 평면도형의 닮음비가 m : n이면
- 둘레의 길이의 비는 m : n이다.
- 넓이의 비는 m² : n²이다.
(2) 닮은 두 입체도형에서의 비
닮은 두 입체도형의 닮은비가 m : n이면
- 겉넓이의 비는 m² : n²이다.
- 부피의 비는 m³ : n³이다.
PLUS. 축도 : 도형을 일정한 비율로 축소한 그림
축척 : 축도에서 실제의 길이를 일정하게 줄인 비율