입체도형의 성질
1. 다면체
다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형
=> 둘러싸인 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, ... 한다.
2. 다면체의 종류
(1) 각기둥 : 두 밑면이 서로 평행하고 합동인 다각형이고 옆면이 모두 직사각형인 다면체
- 옆면의 모양 : 직사각형
- 성질 : 두 밑면이 서로 평행하고 그 모양과 크기가 같다.
(2) 각뿔 : 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 다면체
- 옆면의 모양 : 삼각형
- 성질 : 꼭짓점의 개수와 면의 개수가 같다.
(3) 각뿔대 : 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 각뿔이 아닌 다면체인데 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 사다리꼴이다.
- 옆면의 모양 : 사다리꼴
- 성질 : 두 밑면이 서로 평행하고 그 모양은 같지만 크기가 다르다.
3. 정다면체
(1) 정다면체 : 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체
(2) 정다면체의 종류 : 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지뿐이다.
PLUS. 정다면체가 5가지뿐인 이유
- 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 한다.
- 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360° 보다 작아야 한다.
4. 회전체
(1) 회전체 : 평면도형을 한 직선을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형
- 회전축 : 회전시킬 때 축이 되는 직선
- 모선 : 원기둥, 원뿔, 원뿔대에서와 같이 회전하면서 옆면을 만드는 선분
(2) 원뿔대 : 원뿔을 밑면에서 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 쪽의 입체도형
5. 회전체의 성질
(1) 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 항상 원이다.
(2) 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 모두 합동이고, 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형이다.
6. 각기둥의 겉넓이와 부피
(1) 각기둥의 겉넓이
(겉 넓이) = (밑넓이) X 2 + (옆 넓이)
(2) 각기둥의 부피 : 밑넓이가 S, 높이가 h인 각기둥의 부피를 V라 하면,
V = (밑넓이) x (높이) = Sh
PLUS. 각기둥의 전개도에서 두 밑면은 서로 합동이고 옆면은 항상 직사각형 모양으로 펼쳐진다. 이 직사각형에서 (가로의 길이) = (민몉의 둘레의 길이), (세로의 길이) = (각기둥의 높이)
PLUS. 구멍이 뚫린 기둥의 겉넓이와 부피
(1) 구멍이 뚫린 기둥의 겉넓이
(밑넓이) = (큰 기둥의 밑넓이) - (작은 기둥의 밑넓이)
=> (밑넓이) x 2 + (큰 기둥의 옆넓이) + (작은 기둥의 옆넓이)
(2) 구멍이 뚫린 기둥의 부피
(부피) = (큰 기둥의 부피) - (작은 기둥의 부피)
7. 원기둥의 겉넓이와 부피
(1) 원기둥의 겉넓이 : 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원기둥의 겉넓이를 S라하면
S = (밑넓이) x 2 + (옆 넓이) = 2ㅠr² + 2ㅠrh
(2) 원기둥의 부피 : 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원기둥의 부피를 V라하면
V = (밑넓이) x (높이) = ㅠr²h
8. 각뿔의 겉널이와 부피
(1) 각뿔의 겉넓이
(겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이)
(2) 각뿔의 부피 : 밑넓이가 S, 높이가 h인 각뿔의 부피를 V라 하면
V = 1/3 x (밑넓이) x (높이) = 1/3Sh
PLUS. 각뿔대의 겉넓이와 부피
(각뿔대의 겉넓이) = (두 밑면의 넓이) + (옆넓이)
(각뿔대의 부피) = (큰 각뿔의 부피) - (작은 각뿔의 부피)
9. 원뿔의 겉넓이와 부피
(1) 원뿔의 겉넓이 : 밑면의 반지름의 길이가 r, 모선의 길이가 l인 원불의 겉넓이를 S라 하면
S = (밑넓이) + (옆넓이) = ㅠr² + ㅠrl
(2) 원뿔의 부피 : 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 부피를 V라하면
V = 1/3 x (밑넓이) x (높이) = 1/3ㅠr²h
10. 구의 겉넓이와 부피
(1) 구의 겉넓이 : 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이를 S라 하면
S = ㅠ x (2r)² = 4ㅠr²
(2) 구의 부피 : 반지름의 길이가 r인 구의 부피를 V라 하면
V = 4/3ㅠr³
PLUS. (원뿔의 부피) : (구의 부피) : (원기둥의 부피) = 1 : 2 : 3