삼각비

1. 삼각비

(1) 삼각비 : 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비

(2) ∠B = 90°인 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 삼각비

- sin A = (높이)/(빗변)

- cos A = (밑변)/(빗변)

- tan A = (높이)/(밑변)

2. 삼각비의 값

(1) 0°의 삼각비의 값 : ∠x가 0°에 가까워지면 각 값은 0, 1, 0에 가까워진다.

sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0

(2) 90°의 삼각비의 값 : ∠x가 90°에 가까워지면 각 값은 1, 0, 무한에 가까워진다.

sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = 정할 수 없다.

PLUS. 각 A의 크기가 커질 수록

- sin A의 값은 0에서 1까지 증가한다.

- cos A의 값은 1에서 0까지 감소한다.

- tan A의 값은 0에서 무한히 증가한다.

3. 삼각비의 표

(1) 삼각비 표 : 0°에서 90°까지의 값을 1° 단위로 나누어서 이들의 삼각비의 값을 소수점 아래 다섯 번째 자리에서 반올림한 값을 나타낸 표

(2) 삼각비의 표를 읽는 방법 : 삼각비의 표에서 가로줄과 세로줄이 만나는 곳의 수가 해당 삼각비의 값이다.

4. 직각삼각형의 변의 길이

∠B = 90°인 직각삼각형 ABC에서

(1) ∠A의 크기와 빗변의 길이 b를 알 때

sin A = a/b => a = b sin A

con A = c/b => c = b cos A

(2) ∠A의 크기와 밑변의 길이 c를 알 때

tan A = a/c => a = c tan A, cos A = c/b => b = c/cos A

(3) ∠A의 크기와 높이 a를 알 때

sin A = a/b => b = a/sin A, tan A = a/c => c = a/tan A

5. 일반 삼각형의 변의 길이

(1) 두 변의 길이 a, c와 그 끼인각 ∠B의 크기를 알 때

- 선분AH를 긋는다.

- 삼각형ABH에서 높이와 밑변을 구한다.

- 선분CH의 길이를 구한다.

- 삼각형AHC에서 선분AC의 길이를 구한다.

(2) 한 변의 길이 a와 그 양 끝각 ∠B, ∠C의 크기를 알 때

- 선분CH를 긋는다.

- 삼각형ABC에서 ∠A의 크기를 구하고, 삼각형HBC에서 선분 CH의 길이를 구한다.

- 삼각형AHC에서 선분AC의 길이를 구한다.

6. 삼각형의 높이

삼각형 ABC에서 한 변의 길이 a와 그 양 끝각 ∠B, ∠C의 크기를 알 때

(1) 예각삼각형인 경우

- 삼각형ABH에서 선분BH, 삼각형AHC에서 선분CH의 길이를 구한다.

- 선분AH의 길이를 구한다.

(2) 둔각삼각형인 경우

- 삼각형ABH에서 선분BH, 삼각형 AHC에서 선분CH의 길이를 구한다.

- 선분AH의 길이를 구한다.

7. 삼각형의 넓이

두 변의 길이 a, c와 그 끼인 각 ∠B의 크기를 알 때, 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면

(1) ∠B가 예각인 경우

h = c sin B이므로, 1/2ah = 1/2ac sin B

(2) ∠B가 둔각인 경우

h = c sin (180° - B) 이므로, 1/2ah = 1/2ac sin (180° - B)

8. 사각형의 넓이

(1) 평행사변형의 넓이 : 이웃하는 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각 x가 예각일 때,

평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면

= 2 X 2/1ab sin x = ab sin x

(2) 사각형의 넓이 : 두 대각선의 길이가 a, b이고 두 대각선이 이루는 각 x가 예각일 때, 사

각형 ABCD의 넓이를 S라 하면

= 1/2ab sin x