다항식 - 4

1. 교대식의 인수분해

(1) 교대식의 성질

다항식에 포함된 임의의 두 문자를 서로 바꿔 쓸 때, 식의 형태는 같지만, 그 식 전체의 부호는 반대가 되는 식.

※ f(x, y, z) = -f(y, x, z) = -f(x, z, y) = -f(z, y, x)

- f(x , y, z)는 x-y, y-z, x-z를 인수로 갖는다.

(2) 대칭식의 성질

다항식에 포함된 임의의 두 문자를 서로 바꿔 쓰더라도 의미가 변하지 않는 식.

특히, 차수가 모두 같은 항으로 이루어진 대칭식을 동차대칭식이라고 한다.

※ f(x, y, z) = f(y, x, z) = f(x, z, y) = f(z, y, x)

- 1차 동차대칭식 : k(x + y + z)

- 2차 동차대칭식 : k(x² + y² + z²) + l(xy + yz + zx)

- 3차 동차대칭식 : k(x³ + y³ + z³) + l(zx² + yz² + zx²) + m(z²x + x²y + y²z) + n(xyz)

(3) 4차 이상의 교대식의 인수분해

- (교대식) x (대칭식) = (교대식)

- (교대식) x (교대식) = (대칭식)

- 동차교대식 f(x, y, z)를 (x-y)(y-z)(z-x)로 나누면 그 몫은 동차대칭식이다.

※ 4차 이상의 동차교대식 f(x, y, z)를 인수분해한 결과는 항상 (x-y)(y-z)(z-x)와 동차대칭식의 곱으로 표현된다.