인수분해
1. 인수분해의 기본 공식
다항식이 둘 이상의 수, 단항식, 다항식의 곱으로 표현될 때, 이러한 수, 단항식, 다항식을
그 다항식의 인수(factor)라 한다. 이와 같이 하나의 다항식을 몇 개의 인수의 곱으로 표현하는 것을
그 다항식의 인수분해(factorization)라 한다.
- 전개와 인수분해는 서로 역과정
(1) 수행과정
- 공통인수가 있다면 공통인수로 먼저 묶는다.
- 전체 또는 부분으로 묶어서 인수분해의 공식을 이용한다.
2. 치환을 이용한 인수분해
(1) 반복되는 부분을 한 문자로 치환해서 푼다.
(2) 짝수 차수의 항만 이루어진 다항식, 즉 복이차식이면 x² = X로 치환한다.
이때 치환을 해도 인수분해가 안되면, A² - B² 꼴로 변형가능한지 살펴본다.
3. 내림차순으로 정리 후 인수분해
여러 문자가 섞여있을 때에는 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 푼다.
4. 인수정리를 이용한 고차식의 인수분해
문자가 한 개이면서 삼차 이상인 다항식 f(x)를 인수분해할 때는 '인수정리'를 이용하자.
즉 f(x)에 대하여 f(a) = 0을 만족시키는 a의 값을 구한다.
a의 값은 최고차항이 1일 경우에는 상수항의 약수에서 a를 결정하면 된다.
- 다항식에서 유리수 해 정리(rational root theorem)
최고차항의 계수가 A, 상수항이 B인 정수 계수의 다항식 f(x)에서 f(a) = 0을 만족하는 a는
±(B의 약수) / (A의 약수) 중의 하나이다.
5. 조립제법을 이용한 인수분해
조립제법은 다항식을 이차식으로 나눈 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있게 해 주므로 인수정리와
함께 조립제법을 이용하면 복잡한 다항식을 빠르게 인수분해할 수 있다. 인수정리로 일차식 인수를 찾고,
조립제법으로 몫을 구하는 작업을 반복하면 된다.
GUIDE - 대수학의 기본은 미지수를 사용하는 것이다. 대개의 경우 미지수의 값을 구하는 것이 목적이긴 하지만,
역으로 적당히 미지수를 설정하는 것이 필요할 수도 있다. 위에 제시된 문제들은 물론 일일이 계산할 수도
있겠지만, 적당히 미지수를 설정하고 미지수에 대한 여러 공식들을 적절히 사용하면 좀 더 쉽게 풀 수 있다.