일차함수
1. 일차함수의 뜻
함수 y = f(x)에서 y가 x에 관한 일차식 y = ax + b(a, b는 항수, a != 0)로 나타내어질 때, 이 함수 f를 일차함수라고 한다.
2. 일차함수 y = ax( a!= 0 )의 그래프
(1) 원점 (0, 0)을 지나는 직선이다.
(2) a > 0 일 때
- 제 1, 3사분면을 지난다.
- x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- 오른쪽 위로 향하는 직선이다.
(3) a < 0 일 때
- 제 2, 4 사분면을 지난다.
- x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
- 오른족 아래로 향하는 직선이다.
(4) a의 절댓값이 클수록 y축에 가까워진다.
( a의 절댓값이 작아질수록 x축에 가까워진다. )
3. 일차함수 y = ax + b(a != 0)의 그래프
(1) 평행이동 : 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동시키는 것
(2) 일차함수 y = ax + b(a != 0)의 그래프
일차함수 y = ax + b의 그래프는 일차함수 y = ax의 그래프를 y 축의 방향으로 b만큼 평행이동한 직선이다.
4. 일차함수 y = ax + b의 그래프의 x절편, y절편
(1) x절편
- 함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x 좌표.
- y = 0일 때의 x의 값
- x 절편이 a이면 x축과 만나는 점의 좌표는 (a, 0)
(2) y절편
- 함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 y 좌표
- x = 0일 때의 y의 값
- y절편이 b이면 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, b)
(3) 일차함수 y = ax + b(a != 0)의 그래프에서 x 절편은 -b/a, y절편은 b이다.
5. 일차함수 y = ax + b의 그래프의 기울기
일차함수 y = ax + b( a != 0)에서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율은 항상 a로 일정하다. 이때 a를 일차함수 y = ax + b의 그래프의 기울기라고 한다.
(기울기) = (y의 값의 증가량)/(x의 값의 증가량) = a = (y의 값이 a만큼 증가)/(x의 값이 1만큼 증가)
PLUS. 두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 이용하여 기울기 구하기
(기울기) = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (y1 - y2)/(x1 - x2) = a
6. 일차함수 y = ax + b의 그래프의 성질
일차함수 y = ax + b(a != 0)의 그래프는 기울기가 a이고 y절편이 b인 직선이다.
(1) a의 부호에 따른 그래프의 모양 결정
a > 0 (기울기가 양수 일 때)
- 오른쪽 위를 향하는 직선
- x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
a < 0 (기울기가 음수 일 때)
- 오른쪽 아래를 향하는 직선
- x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
(2) b의 부호에 따른 그래프의 위치 결정
- b > 0일 때, y축과 양의 부분에서 만난다.
- b < 0일 때, y축과 음의 부분에서 만난다.
7. 일차함수의 그래프의 평행과 일치
(1) 두 일차함수의 그래프 y = ax + b, y = a'x + b'은 다음과 같은 경우에 서로 평행하거나 일치한다.
- 기울기가 같고 y절편이 다른 경우
a = a', b != b' => 평행
- 기울기가 같고 y절편이 같은 경우
a = a', b = b' => 일치
(2) 서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 서로 같다.
8. 일차함수의 그래프 그리기
(1) 두 점을 이용하여 그래프 그리기
일차함수의 식을 만족하는 두 점을 찾아 나타낸 후 두 점을 직선으로 연결한다.
(2) x절편과 y절편을 이용하여 그래프 그리기
- x절편과 y절편을 각각 구한다.
- 구한 절편을 x축, y축 위에 점으로 나타낸 후 두 점을 직선으로 연결한다.
(3) 기울기와 y절편을 이용하여 그래프 그리기
- y절편을 이용하여 y축과 만나는 점을 좌표평면 위에 나타낸다.
- 기울기를 이용하여 다른 한 점을 찾아 나타낸 후 두 점을 직선으로 연결한다.
9. 일차함수의 식 구하기
(1) 기울기 a와 y절편을 알 때, 일차함수의 식 구하기
기울기가 a이고, y절편이 b인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은 y = ax + b
(2) 기울기 a와 한 점 (x1, y1)을 알 때, 일차함수의 식 구하기
- 일차함수의 식을 y = ax + b로 놓고, a의 값을 대입한다.
- x = x1, y = y1을 대입하여 b의 값을 구한다.
(3) 두 점의 좌표 (x1, y1), (x2, y2)를 알 때, 일차함수의 식 구하기
- (기울기) = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (y1 - y2)/(x1 - x2)임을 이용하여 구한다.
- y = ax + b의 a에 기울기를 대입한다.
- 두 점 중 한 점의 좌표를 대입하여 b의 값을 구한다.
(4) x절편과 y절편을 알 때, 일차함수의 식 구하기
x 절편이 a, y절편이 b인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은 두 점 (a, 0), (0, b)를 지나고 y절편이 b라는 것을 이용하여 구한다.
10. 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프
(1) 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 좌표평면 위에 나타낸 것
(2) 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프의 모양
- x, y의 값이 자연수 또는 정수일 때 : 점으로 나타낸다.
- x, y의 값이 수 전체일 때 : 해가 무수히 많으므로 그래프는 직선으로 나타낸다.
(3) 직선의 방정식 : x, y값이 수 전체일 때, 일차방정식 ax + by + c = 0(a, b, c는 상수, a != 0 또는 b != 0)의 해를 나타내는 그래프는 직선이 된다.이때 일차방정식 ax + by + c = 0을 직선의 방정식이라 한다.
11. 일차함수와 일차방정식의 관계
일차방정식 ax + by + c = 0(a, b, c는 상수, a != 0, b != 0)의 해를 나타내는 그래프는 일차함수 y = -ax/b-c/b의 그래프와 같은 직선이다.
12. 좌표축에 평행한(수직인) 직선
(1) 방정식 x = a의 그래프
- 점 (a, 0)을 지나는 직선
- y축에 평행한 직선
- x축에 수직인 직선
- x = 0의 그래프는 y축
(2) 방정식 y = b의 그래프
- 점 (0, b)를 지나는 직선
- x축에 평행한 직선
- y축에 수직인 직선
- y = 0의 그래프는 x축