인수분해와 이차방정식
1. 인수분해의 뜻
(1) 인수 : 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때의 각각의 식
(2) 인수분해 : 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것
2. 공통인수를 이용한 인수분해
(1) 공통인수 : 다항식의 각 항에 공통으로 곱해져 있는 인수
(2) 공통인수를 이용한 인수분해 : 다항식의 각 항에 공통인수가 있을 때는 분배법칙을 이용하여 공통인수로 묶어 인수를 분해한다.
3. 인수분해 공식 - 완전제곱식을 이용한 인수분해
(1) 완전제곱식 : 다항식의 제곱으로 된 식 또는 이 식에 상수를 곱한 식
(2) 완전제곱식을 이용한 인수분해
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
PLUS. x² + ax + b가 완전제곱식이 되기 위한 b의 조건 : b = (a/2)²
4. 인수분해 공식 - 합 차의 곱을 이용한 인수분해
a² - b² = (a + b)(a - b)
5. 인수분해 공식 x²의 계수가 1인 이차식의 인수분해
x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
(1) 곱하여 상수항이 되는 두 수를 모두 찾는다.
(2) (1)에서 찾는 두 수 중 그 합이 x의 계수가 되는 두 수 a, b를 찾는다.
6. 인수분해 공식 x²의 계수가 1이 아닌 이차식의 인수분해
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + b)
(1) 곱하여 x²의 계수가 되는 두 수를 찾는다.
(2) 곱하여 상수항이 되는 두 수를 찾는다.
(3)(1)(2)에서 찾은 두 수 중 대각선으로 곱하여 x의 계수가 되는 수 a, b, c, d를 찾는다.
(4) (ax + b)(cx + d)의 꼴로 인수분해한다.
7. 복잡한 식의 인수분해
(1) 공통인수가 있으면 공통인수로 묶어내고 인수분해 공식을 이용한다.
(2) 공통 부분을 한 문자로 치환하고 인수분해 공식을 이용한다.
(3) 항이 여러 개이면 적당한 항끼리 묶어 인수분해한다.
PLUS. 제곱의 차의 꼴로 만들 수 있으면 적당히 묶어 인수분해 공식
A² - B² = (A + B)(A - B)를 이용한다.
(4) 문자가 여러 개 있으면 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해한다.
8. 인수분해 공식을 이용한 수의 계산
수를 계산할 때, 인수분해 공식을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다.
(1) ma + mb = m(a + b), ma - mb = m(a - b)를 이용한다.
(2) a² - b² = (a + b)(a - b)를 이용한다.
(3) a² + 2ab + b² = (a + b)², a² - 2ab + b² = (a - b)²을 이용한다.
9. 인수분해 공식을 이용한 식의 값 구하기
주어진 식을 인수분해한 후 문자의 값을 대입하여 식의 값을 구한다.
x = √3-2일 때, x² + 4x + 4 = (x + 2)², (√3-2+2)² = (√3)² = 3
10. 이차방정식의 뜻
(1) x에 관한 이차방정식 : 방정식의 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이
(x 에 관한 2차식) = 0의 꼴로 나타내어지는 방정식을 이차방정식이라 한다.
(2) 이차방정식의 일반형
ax² + bx + c = 0
11. 이차방정식의 해
(1) 이차방정식의 해 또는 근 : 이차방정식 ax² + bx + c = 0을 참이 되게 하는 x의 값
(2) 이차방정식을 푼다. : 이차방정식의 해를 모두 구하는 것을 이차방정식을 푼다라고 한다.
12. 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
(1) AB = 0의 성질 : 두 수 또는 두 식 A, B에 대하여 AB = 0이면 A = 0, B = 0
(2) 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
- 주어진 이차방정식을 ax² + bx + c = 0의 꼴로 정리한다.
- 좌변을 인수분해한다.
- AB = 0의 성질을 이용하여 해를 구한다.
13. 이차방정식의 중근
(1) 이차방정식의 중근 : 이차방정식의 두 근이 중복되어 서로 같을 때, 이 근을 중근이라 한다.
(2) 중근을 가질 조건 : 이차방정식이 (완전제곱식) = 0의 꼴로 인수분해되면 중근을 갖는다.
PLUS. x²의 계수가 1인 이차방정식 x² + ax + b = 0 에서 b = (a/2)²이면 중근을 갖는다.
ax² + bx + c = 0, a(x - p)² = 0, x = p(중근)
14. 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식 ax² + bx + c = 0에서 좌변이 인수분해되지 않을 때, (x - p)² = k의 꼴로 변형하여 해를 구할 수 있다.
(1) 이차항의 계수로 양변을 나누어 이차항의 계수를 1로 만든다.
(2) 상수항을 우변으로 이항한다.
(3) 양변에 ( x의 계수 / 2)²을 더한다.
(4) 좌변을 완전제곱식으로 정리한다.
(5) 제곱을 이용하여 방정식을 푼다.
2x² - 4x - 4 = 0
x² - 2x - 2 = 0
x² - 2x = 2
x² - 2x + ( -2 / 2 )² = 2 + ( -2 / 2 )²
(x - 1)² = 3
x = 1±√3
15. 근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이
x = (-b±√b²-4ac)/2a
PLUS. ax² + bx + c = 0에 대해, x의 계수가 2의 배수면
b' = b/2, (-b'±√b'²-ac)/a
16. 이차방정식의 근의 개수
(1) b² - 4ac > 0, 서로 다른 두 근을 갖는다.
(2) b² - 4ac = 0, 중근을 갖는다.
(3) b² - 4ac < 0, 근이 없다.
17. 복잡한 이차방정식의 풀이
(1) 계수가 분수나 소수이면 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 고친다.
(2) 괄호가 있으면 괄호를 풀어 ax² + bx + c = 0의 꼴로 정리한다.
(3) 공통 부분이 있으면 한 문자로 치환한다.
PLUS. 계수보다는 제곱을 먼저 계산한다.
18. 이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 q, w라고 하면
(1) 두 근의 합 : q + w = -b/a
(2) 두 근의 곱 : qw = c/a
PLUS. 곱셈 공식을 변형을 이용하여 두 근의 합과 곱에 대한 값을 구한다.
a² + b² = (a + b)² - 2ab
a² + b² = (a - b)² + 2ab
19. 이차방정식 구하기
(1) 두 근이 a, b이고 x²의 계수가 s인 이차방정식은
s(x - a)(x - b) = 0
(2) 중근이 a이고, x²의 계수가 b인 이차방정식은
b(x-a)² = 0
(3) 두 근의 합이 m, 두 근의 곱이 n이고 x²의 계수가 a인 이차방정식은
a(x² - mx + n) = 0
20. 계수가 유리수인 이차방정식의 근
계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 p + q√m이면 다른 한 근은 p - q√m이다.
21. 이차방정식의 활용 문제 풀이
(1) 미지수 x 정하기 : 문제의 뜻을 파악하고 구하려는 것을 x로 놓는다.
(2) 방정식을 세운다 : 문제의 뜻에 맞게 이차방정식을 세운다.
(3) 방정식을 푼다 : 이차방정식을 풀어 x의 값을 구한다.
(4) 구한 해가 뜻에 맞는지 확인한다.
22. 위로 쏘아 올린 물체에 관한 활용
(1) 시간 t에 따른 높이 h가 h = at² + bt + c일 때, 높이가 p일 때의 시간은 이차방정식 p = at² + bt + c의 해이다.
(2) 쏘아올린 물체의 높이가 p 일 때는 물체가 올라갈 때와 내려올 때, 즉 두 번 생긴다. ( 단, p가 최고 높이일 때는 한 번 생긴다.)
(3) 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0이다.