이차함수
1. 이차함수의 뜻
함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 관한 이차식 y = ax² + bx + c(a, b, c는 상수, a != 0)로 나타내어 질 때, y를 x에 관한 이차함수라 한다.
2. 이차함수 y = x²의 그래프
(1) 포물선 : 이차함수의 그래프와 같은 모양의 곡선을 포물선이라 한다.
- 축 : 포물선은 선대칭도형으로 그 대칭축을 포물선의 축이라 한다.
- 꼭짓점 : 포물선과 축의 교점을 꼭짓점이라 한다.
(2) 이차함수 y = x²의 그래프
- 그래프의 모양 : 아래로 볼록한 포물선
- 꼭짓점의 좌표 : 원점 (0, 0)
- 축의 방정식 : x = 0(y 축)
- 그래프의 증가 및 감소 : x < 0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
x > 0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- y값의 범위 : y >= 0
3. 이차함수 y = ax²의 그래프
- 꼭짓점의 좌표 : 원점 (0, 0)
- 축의 방정식 : x = 0(y 축)
- 그래프의 모양 : a > 0이면, 아래로 볼록한 포물선 / a < 0이면, 위로 볼록한 포물선
- 그래프의 폭 : a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다. / a의 절댓값이 작을수록 폭이 넓어진다.
- y의 값의 범위 : a > 0이면 y >= 0 / a < 0이면 y <= 0
PLUS. 이차함수 y = ax²의 그래프와 y = -ax²의 그래프는 x축에 대해 서로 대칭이다.
4. 이차함수 y = ax² + q의 그래프
이차함수 y = ax² + q의 그래프는 이차함수 y = ax²의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
(1) 꼭짓점의 좌표 : (0, q)
(2) 축의 방정식 : x = 0(y축)
PLUS. 이차함수의 그래프를 평행이동하여도 x²의 계수 a는 변하지 않으므로 그래프의 모양과 폭은 불변한다.
5. 이차함수 y = a(x - p)²의 그래프
이차함수 y = a(x - p)²의 그래프는 이차함수 y = ax²의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 것이다.
(1) 꼭짓점의 좌표 : (p, 0)
(2) 축의 방정식 : x = p
6. 이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프
이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프는 이차함수 y = ax²의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
(1) 꼭짓점의 좌표 : (p, q)
(2) 축의 방정식 : x = p
7. 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프
y = a(x - p)² + q의 꼴로 고쳐서 그린다.
8. 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축, y축과의 교점
(1) x축과의 교점 : y = 0일 때의 x의 값을 구한다.
(2) y축과의 고점 : x = 0일 때의 y의 값을 구한다.
9. 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프의 평행이동
이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프는 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프가 나태는 이차함수의 식
y = ax² + bx + c => y = a(x - p)² + q => y = a{(x - m) - p}² + q + n
10. 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프에서 a, b, c의 부호
(1) a의 부호 : 그래프의 모양에 따라 결정된다.
- 아래로 볼록한 포물선 : a > 0
- 위로 볼록한 포물선 : a < 0
(2) b의 부호 : 축의 위치에 따라 결정된다.
- 축이 y축의 왼쪽에 위치 : a, b는 서로 같은 부호 (ab > 0)
- 축이 y축과 일치 : b = 0
- 축이 y축의 오른쪽에 위치 : a, b는 서로 다른 부호 (ab < 0)
(3) c의 부호 : y축과의 교점의 위치에 따라 결정된다.
- y축과의 교점이 x축보다 위쪽 : c > 0
- 원점을 지날 때 : c = 0
- y축과의 교점이 x축보다 아래쪽 : c < 0
11. 이차함수의 식 구하기
(1) 꼭짓점의 좌표 (p, q)와 그래프 위의 다른 한 점을 알 때
- 이차함수의 식을 y = a(x - p)² + q로 놓고 다른 한 점의 좌표를 대입하여 a의 값을 구한다.
(2) 축의 방정식 x = p와 그래프 위의 두 점을 알 때
- 이차함수의 식을 y = a(x - p)² + q로 놓고 주어진 두 점의 좌표를 대입하여 a, q의 값을 구한다.
(3) 그래프 위의 서로 다른 세 점을 알 때
- 이차함수의 식을 y = ax² + bx + c로 놓고 주어진 세 점의 좌표를 대입하여 a, b, c의 값을 구한다.
12. 이차함수의 최댓값과 최솟값
(1) 최대값과 최솟값
- 최댓값 : 어떤 함수의 모든 x의 함숫값 중 가장 큰 값
- 최솟값 : 어떤 함수의 모든 x의 함숫값 중 가장 작은 값
(2) 이차함수의 최댓값과 최솟값
이차함수 y = ax² + bx + c의 꼴이면 y = a(x - p)² + q의 꼴로 고쳐서 구한다.
- a > 0 : x = p에서 최솟값 q를 찾고 최댓값은 없다.
y의 값의 범위 : y >= q
- a < 0 : x = p에서 최댓값 q를 찾고 최솟값은 없다.
y의 값의 범위 : y <= q
PLUS. 이차함수가 x = p에서 최댓값(최솟값) q를 가질 때
- x = p => 꼭짓점의 x 좌표
- 최댓값(최솟값) q => 꼭짓점의 y 좌표
13. 이차함수의 활용 문제 풀이
이차함수의 활용 문제의 대부분이 최댓값, 최솟값을 구하는 문제이므로 세운 식을 표준형 y = a(x - p)² + q의 꼴로 고친다.