경우의 수와 확률
1. 사건과 경우의 수
(1) 사건 : 실험이나 관찰에 의하여 일어나는 결과
(2) 경우의 수 : 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가짓수
2. 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수(합의 법칙)
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 한 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지이고, 다른 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지이면 (사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수) = m + n(가지)
3. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수(곱의 법칙)
한 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지이고, 그 각각에 대하여 다른 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지이면 (사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수) = m x n(가지)
PLUS. 두 사건이 동시에 일어나지 않으며 '이거나', '또는'이라는 표현이 있으면 합의 법칙
'그리고', '~와', '하고 나서', '동시에' 혹은 '연속하여'라는 표현이 있으면 곱의 법칙
4. 동전, 주사위를 던지는 경우의 수
(1) n 개의 동전을 동시에 던질 대 일어나는 모든 경우의 수
> 각각 동전에 대하여 앞면, 두시면 2가지이므로 2ⁿ(가지)이다.
(2) n개의 주사위를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수
> 각각의 주사위에 대하여 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이므로 6ⁿ(가지)이다.
(3) m개의 동전과 n개의 주사위를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수
> 두 사건이 동시에 일어나므로 2^m x 6^n(가지)이다.
PLUS. (동전 2개를 던진다) = (동전 1개를 2번 던진다)
5. 한 줄로 세우는 경우의 수
(1) n명을 한 줄로 세우는 경우의 수
- n x (n - 1) x (n - 2) .. x 1
(2) n명 중 2명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수
- n x (n -1)
(3) n명 중 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수
- n x (n - 1)(n - 2)
6. 한 줄로 세울 때 이웃하여 세우는 경우의 수
(1) 이웃하는 것을 하나로 묶어 한 줄로 세우는 경우의 수를 구한다.
(2) 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱한다.
PLUS. 한 줄로 세울 때, 어떤 사람이 고정되어 있는 경우 그 사람은 제외하고 나머지를 한 줄로 세우면 된다.
7. 정수를 만드는 경우의 수
(1) 0이 아닌 서로 다른 한 자리 숫자가 각각 적힌 n장의 카드에서
- 2장을 뽑아 두 자리의 정수를 만드는 경우의 수 > n x (n - 1)
- 3장을 뽑아 세 자리의 정수를 마느는 경우의 수 > n x (n - 1) x (n - 2)
(2) 0이 포함된 서로 다른 한자리 숫자가 각각 적힌 n장의 카드에서
- 2장을 뽑아 두 자리의 정수를 만드는 경우의 수 > (n - 1) x (n - 1)
- 3장을 뽑아 세 자리의 정수를 마느는 경우의 수 > (n - 1) x (n - 1) x (n - 2)
8. 대표를 뽑는 경우의 수
(1) 자격이 다른 대표를 뽑는 경우
- n명 중 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수 > n x (n - 1)
- n명 중 자격이 다른 대표 3명을 뽑는 경우의 수 > n x (n - 1) x (n - 2)
(2) 자격이 같은 대표를 뽑는 경우
- n명 중 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수 > n x (n - 1)/2
- n명 중 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의 수 > n x (n - 1) x (n - 2) / 3 x 2
9. 확률의 뜻
어떤 실험이나 관찰에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n가지이고, 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때, 어떤 사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지이면 사건 A가 일어날 확률 p는
p = (사건 A가 일어나는 경우의 수)/(모든 경우의 수)=a/n
10. 확률의 성질(1) - 확률의 범위
(1) 어떤 사건이 일어날 확률을 p라 하면 0 <= p <= 1이다.
(2) 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.
(3) 절대로 일어날 수 없는 사건의 확률은 0이다.
11. 확률의 성질(2) - 어떤 사건이 일어나지 않을 확률
사건 A가 일어날 확률을 p라 할 때, 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p이다.
12. 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률(확률의 덧셈)
사건 A와 사건 B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 하면
(사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률) = p + q
13. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률(확률의 곱셈)
두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 하면
(사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률) = p x q
14. 연속하여 뽑는 경우의 확률
(1) 꺼낸 것을 다시 넣고 연속하여 뽑는 경우의 확률 : 처음 뽑을 때의 전체 개수와 다시 뽑을 때의 전체 개수가 같다. > 처음 사건이 나중 사건에 영향을 주지 않는다.
(2) 꺼낸 것을 다시 넣지 않고 연속하여 뽑는 경우의 확률 : 처음 뽑을 때의 전체 개수와 다시 뽑을 때의 전체 개수가 다르다. > 처음 사건이 나중 사건에 영향을 준다.
15. 도형에서의 확률
모든 경우의 수를 도형의 전체 넓이로, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수를 사건에 해당하는 부분의 넓이로 생각하여 도형에서의 확률을 구할 수 있다.
(도형에서의 확률) = (사건에 해당하는 부분의 넓이)/(도형의 전체 넓이)