소인수분해
1. 소수와 합성수
(1) 소수 : 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
- 소수 중 짝수는 2 뿐이고 나머지는 모두 홀수이다.
(2) 합성수 : 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수
PLUS 1은 소수도 아니고, 합성수도 아니다.
2. 거듭제곱
(1) 거듭제곱 : 같은 수나 문자를 여러번 곱한 것을 간단히 나타낸 것
(2) 밑 : 여러번 곱한 수나 문자
(3) 지수 : 여러번 곱해진 수나 문자의 개수
aⁿ 에서 밑은 a, 지수는 n
3. 소인수 분해
(1) 인수 : 자연수 a, b, c에 대하여 a = b x c 일 때, b, c를 a의 인수라 한다.
(2) 소인수 : 인수들 중에서 소수인 인수
(3) 소인수분해 : 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것
PLUS 자연수의 제곱이 되는 수가 되려면, 소인수의 지수가 모두 짝수가 되어야 한다.
(4) 소인수분해를 이용하여 약수 구하기
자연수 A = aⁿ¹ x bⁿ²처럼 서로 다른 소수로 소인수분해될 때
(1) A의 약수 : aⁿ¹의 약수와 bⁿ²의 약수를 각각 곱하여 구한다.
(2) A의 약수의 개수 : (n1 + 1) x (n2 + 1) 개
5 공약수와 최대공약수
(1) 공약수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수
(2) 최대공약수 : 공약수 중에서 가장 큰 수
(3) 최대공약수의 성질 : 두 개 이상의 자연수의 공약수는 최대공약수의 약수이다.
(4) 서로소 : 최대공약수가 1인 두 자연수
6. 최대공약수 구하기
(1) 나눗셈을 이용한 방법
- 1 의외의 공약수로 나눈다.
- 몫이 서로소가 될 때까지 공약수로 계속 나눈다.
- 나누어 준 공약수를 모두 곱한다. ( 마지막 몫 제외 )
(2) 소인수 분해를 이용한 방법
- 공통인 소인수를 택하여 모두 곱해 준다. 이때 소인수는 지수가 같거나 작은 것을 택한다.
7. 최대공약수의 활용
(1) 문제 유형
- 가장 큰 도형을 만드는 도형 문제
- 가능한 한 많은 사람들에게 똑같이 나누어 주는 분배 문제
- 두 수를 동시에 나누는 가장 큰 수를 구하는 숫자 문제
8. 공배수와 최소공배수
(1) 공배수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수
(2) 최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수
(3) 최소공배수의 성질
- 두 개 이상의 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수이다.
- 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 수의 곱과 같다.
9. 최소공배수 구하기
(1) 나눗셈을 이용한 방법
- 두 개 이상의 몫이 서로소가 될 때까지 1이 아닌 공약수로 나눈다.
- 나눈 수와 마지막 몫을 모두 곱한다.
(2) 소인수분해를 이용한 방법
- 각 수를 소인수분해한다.
- 공통인 소인수는 지수가 같거나 큰 것을 택하여 곱한다.
- 공통이 아닌 소인수도 모두 택하여 곱한다.
10. 최소공배수의 활용
(1) 문제 유형
- 가장 작은 도형을 만드는 도형 문제
- 동시에 출발하여 다시 만나는 시각을 구하는 시간 문제
- 두 수로 동시에 나누어지는 가장 작은 수를 구하는 숫자 문제
11. 최대공약수와 최소공배수의 관계
두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면
(1) A = a x G, B = b x G (단, a, b는 서로소)
(2) L = G x a x b
(3) A x B = ( a x G ) x ( b x G ) = ( a x b x G ) x G = L x G
12. 최대공약수와 최소공배수의 활용
두 분수 A/B, C/D 중 어느 것에 곱해도 자연수가 되는 가장 작은 분수
(B, D의 최소공배수) / ( A, C의 최대공약수)