제곱근과 실수
1. 제곱근의 뜻
음이 아닌 수 a에 대하여 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 한다.
(1) 양수의 제곱근은 양수, 음수의 2개이고 두 수의 절댓값은 서로 같다.
(2) 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.
(3) 제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제급곤은 없다.
2. 제곱근의 표현
(1) 제곱근은 근호를 사용하여 나타내고 '제곱근' 또는 '루트'라 읽는다.
(2) 양수 a의 제곱근 중 양수인 것을 양의 제곱근, 음수인 것을 음의 제곱근이라 한다.
3. 제곱수와 그 성질
(1) 제곱수 : 1, 4, 9, 16, .. 과 같이 자연수의 제곱인 수
(2) 제곱수의 성질 : 제곱수를 소인수분해하면 소인수의 지수가 모두 짝수이다.
(3) 근호 안에 제곱수가 있으면 근호를 없애고 자연수로 나타낼 수 있다.
4. 유리수와 무리수
(1) 유리수 : 분수의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다.
(2) 무리수 : 유리수가 아닌 수, 즉 순환하지 않는 무한소수이다.
5. 실수
(1) 실수 : 유리수와 무리수를 통틀어 실수라 한다.
6. 실수와 수직선
(1) 실수와 수직선
- 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다.
- 모든 실수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응한다.
- 수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다.
( 단, 유리수나 무리수만으로는 완전히 메울 수 없다.)
7. 실수의 대소 관계
두 실수 a, b의 대소 관계는 a-b의 부호로 알 수 있다.
(1) a - b > 0 이면 a > b
(2) a - b = 0 이면 a = b
(3) a - b < 0 이면 a < b
PLUS. 실수의 대소 관계는 다음과 같은 방법으로도 비교할 수 있다.
- 부등식의 성질 이용 : 양 변에 값을 더한다.
- 제곱근의 값 이용
8. 제곱근의 곱셈과 나눗셈
a > 0, b > 0 이고 m, n이 유리수 일 때
(1) 제곱근의 곱셈
√a x √b = √a √b = √ab
m √a x n √b = mn √ab
(2) 제곱근의 나눗셈
√a / √b = √a/ √b = √a/b
m √a / n √b = m/n √a/b
9. 근호가 있는 식의 변형
a > 0, b > 0 일 때
(1) √a²b = √a²x √b = a √b
(2) √a/b² = √a/ √b² = √a/b
10. 분모의 유리화
분모에 무리수가 있을 때, 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것
11. 분모의 유리화 방법
(1) a / √b = ( a x √b ) / ( √b x √b) = a √b / b
(2) √a / √b = ( √a x √b) / ( √b x √b) = √ab / b
(3) a / b √c = ( a x √c ) / ( b √c x √c) = a √c / bc
PLUS. 분모의 근호 안에 제곱인 인수가 있므면, a√b 꼴로 바꾼 다음 분모 중
근호를 포함한 부분만 곱하여 유리화 한다.
6 / √20 = 6 / 2√5 = 3 / √5 = 3√5 / 5
12. 제곱근의 덧셈과 뺄셈
m, n이 유리수이고 a > 0일 때
(1) m√a + n√a = (m+n)√a
(2) m√a - n√a = (m-n)√a
13. 근호를 포함한 복잡한 식의 계산
a > 0, b > 0, c > 0일 때
(1) 괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용한다.
√a(√b±√c) = √a√b±√a√c = √ab±√ac
(2) 분모에 무리수가 있는 경우에는 분모를 유리화한다.
14. 곱셈 공식을 이용한 근호를 포함한 식의 계산
곱셈 공식을 이용하여 다항식의 곱셈과 같은 방법으로 전개하여 계산한다.
(1) (a±b)² = a² ± 2ab + b²
(2) (a+b)(a-b) = a² - b²
(3) (x+a)(x+b) = x² + (a + b)x + ab
(4) (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad + bc)x + bd
15. 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화
분모가 두 개의 항으로 되어 있는 무리수일 때, 곱셈 공식 (a+b)(a-b) = a²-b²을 이용하여 유리화한다.
16. 무리수의 정수 부분과 소수 부분
무리수는 순환하지 않는 무한소수이므로 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있다.
이때 수수 부분은 무리수에서 정수 부분을 빼서 표현한다.
√a = (정수 부분) + (소수 부분)